基于3D电磁仿真设计超导 Transmon量子比特电路

量子比特（Qubit）是量子计算的基本信息单元。经典计算采用 0、1 两个独立状态，而量子比特可同时处于两种状态的叠加态；此外，量子比特还具备纠缠特性，一个量子比特的状态会瞬时影响另一个纠缠比特的状态。凭借这两大核心特性，计算机的运算能力得以呈指数级增长。量子比特的物理实现方式包含光子、囚禁离子（利用电磁场束缚的单个带电原子）以及超导电路，其中超导电路依托现有半导体制造工艺进行制备，是目前技术最成熟、应用最广泛的方案。超导量子比特电路存在多种类型，本文将重点讲解Transmon 量子比特电路的设计与仿真。

Transmon 量子比特电路

单量子比特电路主要由四部分构成：馈线、谐振器、含约瑟夫森结的 Transmon 量子比特、偏置电流线。

典型 Transmon 量子比特电路原理图

Transmon 量子比特的核心为约瑟夫森结（JJ），位于器件中心位置，连接两块金属焊盘。约瑟夫森结是超导量子比特的核心器件，结构为两层超导体中间夹有一层薄绝缘层。该器件常用材料为金属铝，其超导临界温度低于 1.2 开尔文。普通电感的电感值为固定常数，而约瑟夫森结属于非线性电感，电感值会随输入能量的增减发生变化。谐振器与馈线均采用 ** 共面波导（CPW）** 结构，特性阻抗为常规 50 欧姆，二者主要用于读取量子比特状态。偏置电流线可产生微弱磁场，以此检测约瑟夫森结的电感变化。

超导量子比特芯片组装结构

典型超导量子比特装配简化示意图

Transmon 量子比特电路集成在芯片上，再与印制电路板（PCB）连接，从而实现量子比特的测量与调控。如图 2 所示，量子比特芯片放置于 PCB 中心的凹槽（C）内。芯片通过键合线与 PCB 走线（B）相连，微波信号经由走线传输至板载 SMA 射频连接器（A），再通过该连接器与外部测量设备完成高频信号交互。其中 PCB 尺寸为毫米级，量子比特芯片尺寸则达到亚毫米级别。整套装配体放置在稀释制冷机中，制冷温度接近绝对零度，维持在数十毫开尔文。在此低温环境下，铝、铌等超导材料制成的电路可实现零电阻导电，这类超导电路可等效为人工原子，充当量子比特使用。

超导材料仿真定义

在三维电磁仿真中，超导材料主要有两种定义方式。第一种为简易定义：将材料设置为 ** 理想电导体（PEC）或无损耗常规材料（例如基板），该方式足以完成谐振频率仿真。但由于无损耗模型会导致品质因数（Q 值）** 计算结果偏高，因此不适合用于高精度 Q 值求解。第二种为有损耗材料定义，该模式计算结果更贴合真实 Q 值，代价是会小幅增加计算资源消耗。

在 CST 仿真套件中，超导材料采用表面阻抗模型进行定义。由于超导薄膜厚度通常仅为数微米，该建模方式具备充分合理性。超导材料的参数设置路径为：VBA 宏程序→材料库→宽频查表表面阻抗，具体设置界面见图 3。

超导材料查表表面阻抗设置界面

仿真时需要填写室温电导率、超导工作温度、伦敦穿透深度、临界温度等参数，软件将基于上述参数计算表面阻抗。基板选用相对介电常数为 Epsr=11.9的硅材料，设置损耗正切值为TanD=1e-6，实现极低损耗特性。关于 CST 中超导材料的详细配置方法可参考参考文献 [4]。

设计参数

绝大多数量子测量设备的工作频段为 4 吉赫兹至 8 吉赫兹，因此本设计中将 Transmon 量子比特的谐振频率设定为 5 吉赫兹。为避免信号串扰，谐振器的谐振频率设置为 7 吉赫兹。根据相关文献 [1]，性能优良的 Transmon 量子比特需满足以下两项约束条件：

非谐性

|α|> 200 MHz （1）

E_j/E_c >50 （2）

α是非简谐性，较大的非简易性有助于将|0⟩和|1⟩与更高能级隔离开来，而E_j/E_c的比值需要足够大，以至于对电荷噪声不敏感。约瑟夫森结能量（Ej）和充电能（Ec）都可以以MHz表示：

Ec= e^2/（2∙C∙h）∙10^（-6）

（3）

Ej= 〖Φ_0〗^2/（（2π）^2∙L_j∙h）∙10^（-6）

（4）

当e = 1.602∙10^（-19）库仑时，Φ_0 是超导通量子（~ 2.067∙10^（-15） Wb），h 是普朗克常数（~ 6.626∙10^（-34） Js）。由于我们需要满足方程（2），非调和带电能可近似为

α= -E_c（5）

Transmon 量子比特电容计算

结合公式 (3) 求解充电能，首先需要确定量子比特的总电容C 。本文采用静电求解器完成电容计算，器件尺寸如图 4 所示。金属层厚度设置为 20 微米。

Transmon 量子比特尺寸示意图

使用电子静电求解器，电容值 C= 93.5fF 基于焊盘尺寸 500um x 200μM 计算。将电容值代入方程（3），得到充电能量Ec = 207 MHz。在实际操作中，约瑟夫森结电感Lj通常介于1nH到20nH之间。在这种情况下，定义了约瑟夫森结电感Lj = 10 nH。使用（4）时，Ej为16333MHz。E_j/E_c的比率约为78.87。对于（5），非调谐度为-207 MHz;因此，设计限制得以满足。

腔体模式计算

实际应用中，量子比特芯片会放置在金属屏蔽腔体内，隔绝外界环境噪声。腔体的最低本征模谐振频率必须高于量子比特与谐振器的谐振频率，防止腔体与器件之间发生能量耦合。矩形金属腔体的最低本征模可通过本征模求解器或矩形波导解析公式计算，公式如下：

[2]由f_mnl

= c_0/（2π√（ε_r ）） √（（mπ/a）^2+（nπ/b）^2+（lπ/c）^2 ）（6）

已知量子比特芯片外形尺寸为 2758 微米 ×3000 微米 ×1500 微米，计算得出腔体最低本征模频率为 73.82 吉赫兹。该频率远高于量子比特与谐振器的工作频率，二者不会产生相互干扰。基于该结论，本仿真可对腔体采用切向电场为零的边界条件，适用于本征模求解器与频域求解器。

Transmon 量子比特、谐振器与馈线整体建模

本章节采用本征模求解器仿真量子比特与谐振器的谐振频率。三维求解器无法直接模拟约瑟夫森结，因此本文采用集总电感等效约瑟夫森结，将 10 纳亨的电感连接在两块金属焊盘之间。读出链路由谐振器与馈线组成，二者均为共面波导结构：信号线宽度 10 微米，信号线与地平面间距 6 微米，实现标准 50 欧姆特性阻抗。

本设计采用四分之一波长谐振器结构：谐振器一端通过电容耦合至 Transmon 量子比特，另一端接地；接地端通过电感耦合至馈线。该结构在接地端电压趋近于零、电流达到最大值。Transmon 量子比特、谐振器与馈线的完整仿真模型见图 5。

CST 环境下 Transmon 量子比特、谐振器与馈线整体模型

在馈线两端，波导端口都配置为终端馈线。利用波导端口，特征模求解器还可以计算Qext值。该Qext值表示量子比特在外部环境中的保护效果。特征模求解器还提供包含所有内部损耗的Qtotal。

利用量子比特的Q总，我们可以估计量子比特弛豫时间（T1）

T_1=Q_total/f_q（7）。

利用谐振腔的Qext，我们可以估计读出时间（Tr）。

T_r=Q_ext/f_r （8）

本征模求解器仿真结果

本征模求解器的仿真频段设置为 4 吉赫兹至 8 吉赫兹，并启用双计算模式。模式 1 与模式 2 的电场分布分别如图 6、图 7 所示。

模式 1 电场分布图，频率 5.182 吉赫兹

模式 1 的电场主要集中在 Transmon 量子比特区域，谐振频率为 5.182 吉赫兹，总品质因数约为。该结果证明量子比特与馈线之间隔离效果良好，无明显耦合。代入公式 (7) 计算，得到能量弛豫时间为 245.3 微秒。

模式 2 电场分布图，频率 7.0167 吉赫兹

模式 2 的电场集中在谐振器区域，谐振频率为 7.0167 吉赫兹，仿真得到外部品质因数为 15839。代入公式 (8)，读出时间为 2.25 微秒。可采用数百纳秒量级的读取脉冲完成量子比特状态读取，该速度快于文献 [1] 记载的 50~200 微秒量子退相干时间。

频域求解器仿真

为模拟约瑟夫森结的电感变化特性，本次采用频域求解器。由于器件品质因数极高，仿真推荐使用降阶快速模型（FROM）求解算法。将原集总电感替换为离散面端口，频域求解器基于所有端口定义生成完整S 参数矩阵。

这种方法能提供更高效的仿真，因为电路仿真运行得比完整的三维仿真更快。图8展示了跨蒙量子比特模型，其中端口3被定义为替换集总单元。CST Design Studio 实现的对应电路原理图连接如图9所示。端口1和端口2终端为50欧姆，端口3代表内部局部结端口，终端电压为1e-5欧姆，表明电感的寄生阻抗几乎为零。

频域求解器对应的 Transmon 量子比特仿真模型

等效约瑟夫森结电感的电路原理图

通过扫描10nH、11nH和12nH的电感值Lj，我们可以通过S1,3结果获得谐振腔的频率偏移。这三条曲线如图10所示。

电感的变化会使谐振频率发生变化，这种现象称为克罗斯-克尔（χ）。2χ 与半高时的全宽（FWHM）相近，Δf。Δf可以从S1,3曲线的最大值读出，约在500kHz-700kHz之间。交叉克尔（χ）由以下方程给出，

χ≈g^2/∆ （α/（∆+α）））（9）

失谐（∆）定义为跨激元量子比特（模式1）与谐振腔（模式2）之间的共振频率差，具体如下，

∆ = f_resonator-f_qubit （10）

使用700kHz的Δf，耦合强度g可从（9）计算为~72.8 MHz。耦合强度低于失谐（∆）是个不错的选择，因为它能提供良好的读数。另一种计算交叉克尔的替代方案是使用能量参与比（EPR），如[3]所述。

图 10：不同约瑟夫森结电感对应的

总结

3D电磁仿真工具可助力工程师高效、精准完成 Transmon 量子比特、谐振器与馈线的设计工作。静电求解器适用于提取量子比特总电容；本征模求解器可精准计算器件谐振频率；频域求解器结合电磁 - 电路联合仿真，能够高效分析由电感变化引发的交叉克尔效应。同时，本文所述仿真方案也可用于量子比特读出柔性电路板的设计，充分发挥虚拟仿真的价值。

参考文献

[1] 黄永荣。面向工程师的量子计算架构与硬件

[2] 戴维・M・波扎。微波工程

[3] 量子金属（Qiskit Metal）开源项目

[4] CST Studio Suite 2026 在线帮助文档