CST中带约束的参数扫描与优化：A+B+C=1

经常有用户在问，如果模型中有三个参数A、B、C需要优化或者扫参，但是这三个参数有一些变化的约束条件，比如在优化或者扫参的时候要满足：

1）0＜A＜1；0＜B＜1；0＜C＜1

2）A+B+C=1

这种时候，应该怎么进行参数优化或者参数扫描设置？因为在CST中扫参器和优化器都不能理解A+B+C=1这种约束关系，只能设置参数的变化范围。我们怎么实现A、B、C三个参数在规定的范围内变化的时候还能满足A+B+C=1这样的约束条件？这篇文章我们来分别说一说可行的方式。

如果读者有更好的方法，欢迎在问答社区评论交流。

一、参数扫描

对于参数扫描，枚举所有的有效组合，通常是最合适的。因为参数扫描的目的是看结果的走势变化，我们希望的是A、B、C遍历得比较平均即可。

一种离散样本的生成代码如下，可以修改m的值以控制样本的采样密度。把A、B、C的样本值画在三维坐标中，可以发现其实它们都在A+B+C=1这个平面上，并且是以1/m为间隔均匀分布。

有了A、B、C的样本值，下一步就是把它传入CST，并且计算每个组合下的仿真结果。这里列举出两个方法：

1）利用.txt文件导入Parameter Sweep

可以把样本值按照固定格式写进.txt文件中，这一步随便用个AI模型，很容易。然后在Parameter Sweep对话框中，通过Import导入写好的.txt文件，不同的参数组合会被当作一个Sequence写入。最后点击Start就可以正常扫参了，CST会依次计算这些明确的参数组合。注意：其中的每个参数组合都满足约束。

2）用Python或者VBA，修改Parameter list中的参数值

这个方法需要写一点代码，具体可以参考之前的文章。

仿真实例132：如何利用Python批处理CST的仿真模型并提取关注的结果？

思路就是把CST看作一个“计算器”，通过代码控制，每次传入一组参数，通过“计算器”计算，输出一些关心的结果，然后再传入下一组参数，循环往复。

二、参数优化

对于参数优化，可能枚举就不合适了，因为很难枚举到类似A=0.12345这样的值。但这个值或许就是目标的“最优解”。优化需要在连续的空间中搜索最优解，但是CST的参数优化器同样无法设置参数与参数之间的约束，我们还是要从数学上想办法。

一种简单的方式是做变量替换，引入两个连续变化的变量：p、q，并且满足0＜p＜1和0＜q＜1。替换如下：

这样A、B、C一定落在0到1之间，并且始终满足A+B+C=1。这种映射方式简单可靠，但缺点是p、q均匀变化并不代表A、B、C在三角形上均匀分布。

如果注重采样均匀性可以用u、v做面积均匀映射，如下，其中u、v满足0＜u＜1和0＜v＜1。

把这两种映射关系做个对比，就能理解均匀性的区别了。使用同一组均匀随机数和相同样本数（2600个），只改变从二维变量到A、B、C的映射方式。

左边是p、q仿射映射，样本点会明显向A=1附近聚集；

右边是u、v面积均匀映射，点在整个三角形内的密度更均匀。

好了，到这一步我们已经可以用p、q或者u、v的变化来映射A、B、C的变化了，而且变化是连续的，也就是说A、B、C可以“无死角”变化。

下面就是在CST中去实现这种映射关系，然后用优化算法进行优化。同样列举出两个方法：

1）不用CST自带的优化算法

CST软件自带了Trust Region Framework、Genetic Algorithm等7种优化算法，但如果用户想使用其他优化算法，就可以考虑这种方法。它同样需要写代码，也是把CST当作一个“计算器”使用，与上文“参数扫描”中的方法二类似。区别就是外部代码需要增加优化算法逻辑块，负责给出下一组需要传入CST的参数组合。

这种方法最灵活，能够处理任意约束、多目标和复杂后处理等情况。

2）使用CST自带的优化算法

如果需要使用CST软件自带的优化算法，就需要把上面的参数映射关系写到Parameter list中，通过控制p、q或者u、v来控制A、B、C。

我们以一个吸波材料的优化来做个示例。如下是一个三层介质的吸波材料，厚度分别是d1、d2、d3。通过u、v来控制A、B、C，然后乘以总厚度D_total得到三层介质材料的厚度。

我们的目标是在保证材料总厚度4.5mm不变的情况下，优化三层材料的厚度，使整个吸波材料在6.8-7.2GHz内的反射小于-20dB。

用F-solver配合Floquet端口来计算S11。

优化器设置如下，u、v的取值在0.01-0.99范围内。目标设置为S11在6.8-7.2GHz内小于-20dB。然后开始优化。

优化结果如下。

查看优化后的模型以及对应的Parameter List，可以看到整个优化过程中始终保持A+B+C=1，且满足其他约束条件：0＜A＜1；0＜B＜1；0＜C＜1。